Базис

Теория:
Ба́зис — набор n векторов в n-мерном линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их линейной комбинации, при этом ни один из базисных векторов не представим в виде линейной комбинации остальных.
В более точной формулировке, базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней.

Некоторые свойства базиса :
1.Единственная тривиальная линейная комбинация векторов базиса возможна только при тривиальном наборе коэффициентов.
2.Для любого вектора существует единственное представление в виде линейной комбинации соответствующего базиса.
3.Количество векторов базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).
4.Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по данному базису.


Разложение вектора по базису
Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости -- двумерным векторным пространством, в пространстве -- трехмерным векторным пространством.
Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется вектор
Векторы d,f,g на рисунке являются линейными комбинациями векторов a,b,c: , , , .

Будем говорить, что вектор b раскладывается по векторам если b является линейной комбинацией этих векторов.
Если то любой вектор b, коллинеарный a, представим и причем единственным образом в виде , где -- число.
Доказательство. В соответствии с определением умножения вектора на число если b имеет направление, противоположное a, и в противном случае.
Таким образом,

Полезные ресурсы:
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/linp3.php
Сайт о компьютерах, науке и технике http://cadmium.ru/content/view/717/45/